A Bernstein Property of Measures on Groups

We consider in this article a Bernstein property of probability measures on groups introduced by Neuenschwander. We discuss this property for discrete groups, compact groups, nilpotent groups and some solvable groups. In all these cases we show that a measure having the Bernstein-Neuenschwander property must be concentrated on an Abelian subgroup. We conclude with an application of this result to the Gaussian measures on non-compact symmetric spaces. R esum e. Dans cet article nous etudions une propri et e de Bernstein des mesures de probabilit e sur les groupes, introduite par Neuenschwander. Nous discutons cette propri et e pour les groupes discrets, les groupes compacts, les groupes nilpotents et certains groupes r esolubles. Dans tous ces cas nous montrons qu'une mesure v eriiant la propri et e de Bernstein-Neuenschwander est concentr ee sur un sous-groupe ab elien. Nous appliquons ce r esultat aux mesures gaussiennes sur les espaces sym etriques non-compacts.